Примеры пересечения множеств в 8 и 3 классе

Математика тесно связана с различными дисциплинами, одной из которых является информатика. В последней применяются массивы, состоящие из чисел, букв и слов. Чтобы научиться работать с этим типом данных, необходимо разобрать объединение и пересечение множеств, примеры которых разбираются на уроках по алгебре в 8 классе средних образовательных школах. Однако для начала нужно изучить теорию.

Оглавление:

• Общие сведения
• Правила чтения
• Пересечение множеств
• Объединение объектов

Общие сведения

Множеством (массивом) называется математический объект или тип данных (в программировании), состоящий из определенного количества простых элементов. Примером является квартира, в которой находится различная техника, мебель и другие элементы. Следует отметить, что множества также бывают и сложными, однако в 8 классе они не рассматриваются.

Обозначается оно двумя способами:

1. Заглавной литерой, после которой идут элементы: D = {1, 2, 3, 4}.
2. Только в фигурных скобках.

Первый случай применяется при решении задач с несколькими различными массивами, чтобы их не перепутать между собой. Если в задании используется только одна последовательность, то короткая запись включает только фигурные скобки.

Исключением считается массив информатики в 8 классе, формулы записи которого предусматривают только поименованные объекты, т. е. любая переменная должна иметь определенный идентификатор (имя).

Правила чтения

Очень важно научиться правильно читать множества. Для примера следует разобрать массив чисел-делителей числа 20, имеющий следующий вид: F = {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Принадлежность заданного элемента объекту обозначается символом «∈". Например, запись «5 ∈ F» читается таким образом: элемент «5» принадлежит F. Если число не принадлежит, то знак «∈" перечеркивается, т. е. 7 ∉ F.

В программировании массив обозначается заглавной буквой, и указываются все его элементы. В Турбо Паскале, который изучается в школах и профильных училищах на базе 8 классов, используется для записи ключевое слово «array», т. е. var а: array [ 1, 2, 4, 5, 10, 20 ] of integer.

Сочетание слов «of integer» обозначает тип элементов. Читается строка таким образом: тип данных в виде массива «а», содержащего целые числа (integer). Последние указываются в квадратных скобках. Именно ключевое слово «array» и указывает на принадлежность переменной к этому типу данных.

В учебных заведениях с физико-математическим уклоном изучаются в 3 классе примеры пересечения множеств. Учителя дают только общие понятия в виде презентаций, чтобы постепенно перейти к усиленной программе обучения.

Пересечение множеств

В математике, как и информатике, пересечение множеств является важной операцией. Она позволяет из двух объектов определить только общие элементы, которые в них содержатся. Для обозначения процесса используется специальный знак «∩».

Чтобы не путаться в терминах, математики рекомендуют разобрать основные определения. Пересечение множеств — массив, состоящий только из общих их элементов. Например, дано два объекта S = {1, 2, 4, 6, 7, 8} и I = {3, 4, 7, 12, 18, 20}.

Алгоритм определения

Для определения их пересечения необходимо перебрать все их элементы. Конечный результат «R» вычисляется по такой формуле перебора:

1. Записать пустое множество: R = {}.
2. Акцентировать внимание на S.
3. Первый элемент отсутствует в I, тогда он не записывается в R.
4. Второго также нет.
5. Третий компонент присутствует в S и I. В этом случае число «4» записывается в R, т. е. R = {4}.
6. Четвертого нет в I.
7. Пятый: есть. R = {4, 7}.
8. Последний — отсутствует.
9. Запись результата: {1, 2, 4, 6, 7, 8} ∩ {3, 4, 7, 12, 18, 20} = {4, 7}. Краткая запись имеет следующий вид: S ∩ I = R.

В программировании примером пересечения множеств является объединение двух массивов в один с уникальными элементами. Язык программирования Турбо Паскаль не применяется в написании современных приложений. Он изучается в ознакомительных целях, которые дают базовые знания.

Современные профессиональные языки программирования могут осуществлять доступ к базе данных или к другим массивам информации, в которые не записывается одинаковая информация для экономии оперативной и дисковой памяти компьютера или интернет-ресурса.

Основные свойства

Для решения задач на пересечение объектов, состоящих из числовых или символьных элементов, могут быть полезны свойства. К ним относятся следующие:

1. Бинарность.
2. Коммутативность.
3. Ассоциативность.
4. Нейтральность.
5. Идемпотентность.
6. С пустым объектом.

В первом случае результатом, с точки зрения логической алгебры, являются только 2 значения (пересекает или не пересекает). Коммутативность обусловлена тем, что можно брать первый или второй массив, т. е. S ∩ I = R или I ∩ S = R. Результат от этого не изменится. При рассмотрении трех и более составных объектов справедливо свойство ассоциативности: (S ∩ I) ∩ T = S ∩ (I ∩ T) = (S ∩ T) ∩ I = R.

Четвертое свойство предусматривает существование некоторого нейтрального множества, которое не учитывается при решении. Например, в квартире установлена следующая техника: телевизор, компьютер, кондиционер и т. д. Массивом является «техника», а его компоненты — телевизор, компьютер и другие виды приборов. «Квартира» — нейтральный объект, поскольку он не рассматривается, но включает «технику» и другие группы элементов.

Идемпотентность — пересечение идентичных множеств, т. е. все элементы первого совпадают со вторым. Результатом является искомый объект. Свойство записывается математически таким образом: S ∩ S = S.

Последнее свойство — пересечение объекта с пустым массивом, который обозначается символом «∅". Результатом является ∅, поскольку оно не содержит общих элементов с исходным.

Объединение объектов

Объединение множеств — математическая операция, которая предусматривает создание массива из всех их элементов. Например, даны два объекта S = {1, 2, 4, 6, 7, 8} и I = {3, 4, 7, 12, 18, 20}. Чтобы их объединить необходимо воспользоваться следующей методикой:

1. Записать результирующий массив: R = {}.
2. Добавить в R все элементы: R = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 3, 4, 7, 12, 18, 20}.
3. Выполнить сортировку элементов по возрастанию: R = {1, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 12, 18, 20}.
4. Исходя из условия задачи, убрать повторяющиеся элементы: R = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 18, 20}.

Операция довольно простая, поскольку разобраться с ней не составит труда. При написании программы на языке программирования высокого уровня (например, python) необходимо избегать дублирования элементов. Перед записыванием информации в файл или базу данных нужно убрать одинаковые компоненты при помощи встроенных функций.

Таким образом, изучать операции над множествами необходимо, поскольку эти знания пригодятся при решении сложных задач по высшей математике, а также написании программ на высокоуровневых языках программирования.